Линейная и векторная алгебра Кратные интегралы Математическая статистика Математический анализ

В книге изложены необходимые основы математического аппарата и примеры его использования в современных экономических приложениях: математический анализ функций одной и нескольких переменных, элементы линейной алгебры, основы теории вероятностей и математической статистики, элементы линейного программирования и оптимального управления. Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц, получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим дисциплинам.

Изложение материала проведено почти без доказательств — основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата. Каждый раздел сопровождается решением большого числа характерных задач и соответствующих экономических приложений, сложность которых постепенно возрастает от раздела к разделу. Приложения, представляющие в экономике самостоятельный интерес, выделены в специальные разделы. Книга содержит также обширную подборку задач и упражнений, оформленную в виде практикума с разделами по каждой теме. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютно сходящемся ряде(док). Знакопеременные ряды - это ряды, которые содержат бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов. На ряду со знакопеременным рядом рассматривается ряд из абсолютных значений членов знакопеременного ряда

Предлагаемое учебное пособие может успешно использоваться при изучении высшей математики и ее экономических приложений в высших и средних учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование с широким спектром требований. Эта книга будет весьма полезной и востребованной при подготовке студентов и слушателей заочного и дистанционного обучения, при комплектовании контрольных заданий можно использовать практикум.

Благодаря обширному материалу и большому числу разобранных задач и экономических приложений предлагаемая книга может служить справочным пособием для специалистов, работающих в различных областях экономики.

Математика — одна из самых древних наук. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. до н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в "Началах" — эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившем фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге.

Много веков после этого математика практически не эволюционировала, XVII век стал эпохой ее бурного развития. Применение математики Галилеем и Кеплером в исследовании движения небесных тел привело к поразительным по тому времени открытиям — законам движения планет вокруг Солнца. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап развития математики — появление математики переменных величин. Начинается период дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию. В свою очередь это инициировало интенсивное развитие физики и астрономии.

Имена русских ученых занимают достойное место в истории развития математики: Н.И. Лобачевский (1792 — 1856), М.В. Остроградский (1801 — 1861), П. Л. Чебышев (1821 — 1894), А.А. Марков (1856 — 1922) и другие. Достижения современной математики во многом обусловлены трудами известных российских ученых: В. И. Арнольда, С. Н. Бернштейна, Л. В. Канторовича, А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского, Л. С. Понтрягина, Ю. В. Прохорова, А. Н. Тихонова и многих других.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика как наука об объективных причинах функционирования и развития общества еще со времен Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует специальные методы оптимизации, составляющие основу математического программирования, теории игр, сетевого планирования, теории массового обслуживания и других прикладных наук.

Изучение математических дисциплин и их экономических приложений, составляющих основу актуальной экономической математики, позволит будущему специалисту не только приобрести необходимые базовые навыки, используемые в экономике, но и сформировать компоненты своего мышления: уровень, кругозор и культуру. Все это понадобится для успешной работы и для ориентации в будущей профессиональной деятельности.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Математический анализ представляет собой основу всей высшей математики. Его содержание составляют дифференциальное и интегральное исчисления одной и нескольких переменных.

МНОЖЕСТВА

Множества. Основные обозначения. Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных в математике. Система, семейство, совокупность — эти термины можно считать синонимами слова "множество". Множество можно определить как совокупность объектов, объединенных по определенному признаку. Например, множество зрителей в данном кинотеатре; множество студентов определенного учебного заведения; совокупность студентов, учащихся на "хорошо" и "отлично" в некоторой школе, совокупность коммерческих банков, имеющих уставный фонд не ниже 100 миллиардов рублей. Множество может содержать конечное или бесконечное число объектов.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами или точками. Обычно множества обозначаются большими буквами, а входящие в них элементы — малыми буквами. Выражение "элемент х из множества Х" соответствует записи х  Х (х принадлежит X); если же элемент х не входит в множество X, то это соответствует записи х  Х (х не принадлежит X).

Пусть Х и Y — два множества. Тогда между ними можно определить следующие соотношения. Если оба множества состоят из одних и тех же элементов, то они совпадают, что соответствует записи X=Y. Если все элементы множества Х содержатся в множестве Y, то Х целиком содержится в Y, или Х  Y (X является подмножеством множества Y). Если ни один элемент множества Х не содержится в Y, то, значит, и само множество X не содержится в Y, или X Y.

В математике используется понятие пустого множества, обозначаемого символом Ø. Это множество, в котором не содержится ни один элемент, и потому оно является подмножеством любого множества.

Введем также понятия суммы множеств и их пересечения. Суммой или объединением двух множеств Х и.Y называется совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y. Сумма этих множеств обозначается XY. Например, пусть Х — множество государственных предприятий с годовым оборотом не ниже S денежных единиц, а Y — множество негосударственных предприятий с тем же порогом годового оборота; тогда Х  Y будет множеством всех предприятий с указанным нижним ограничением S.

Отметим, что добавление пустого множества Ø к любому множеству Х не меняет этого множества, т.е.

Х  Ø = Х.

Пересечением множеств Х и Y (или их общей частью) является совокупность элементов, входящих как в множество X, так и в множество Y; это множество обозначается Х  Y. Например, если Х — это множество предприятий с годовым оборотом Т не ниже s, а Y — совокупность предприятий с годовым оборотом не более S, причем s < S, то в пересечение Х  Y войдут объекты с годовым оборотом T, удовлетворяющим неравенству

s ≤ T ≤ S.

Отсутствие элементов со свойствами множеств Х и У одновременно означает, что пересечение этих множеств представляет собой пустое множество Ø. Схематически пересечение двух множеств показано на рис. 1.1 (заштрихованная область).

 

Рис. 1.1

Разностью множеств Х и Y называется множество Z, содержащее все элементы множества X, не содержащиеся в Y; эта разность обозначается Z = Х \ Y.

В общем случае сложение и пересечение определяются для любого конечного числа множеств путем последовательного попарного проведения соответствующих операций.

В математических формулировках довольно часто используются отдельные предложения и слова, так что при их записи целесообразно употреблять экономную логическую символику. Вместо выражения "любое х из множества X" употребима запись , где перевернутая латинская буква  взята от начала английского слова Any — любой. Аналогично вместо выражения "существует элемент х из множества X" кратко пишут:, где перевернутая латинская буква  является начальной в английском слове Existence — существование.

Вещественные числа и их свойства 

Множество вещественных чисел является бесконечным. Оно состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным называется число вида p/q, где р и q — целые числа. Всякое вещественное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным. Всякое рациональное число либо является целым, либо представляет собой конечную или периодическую бесконечную десятичную дробь. Например, рациональное число 1/9 можно представить в виде 0,11111.... Иррациональное число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь; примеры иррациональных чисел:

 = 1,41421356...;  = 3,14159265....

Сведения о вещественных числах могут быть кратко систематизированы в виде перечисления их свойств.

А. Сложение и умножение вещественных чисел

Для любой пары вещественных чисел а и b определены единственным образом два вещественных числа а + b и а ∙ b, называемые соответственно их суммой и произведением. Для любых чисел а,b и с имеют место следующие свойства.

1. a + b = b + а, а ∙ b = b ∙ а (переместительное свойство).

2. а + (b + с) = (а + b) + с, а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с (сочетательное свойство).

3. (а + b) ∙ с = а ∙ с + b ∙ с (распределительное свойство).

4. Существует единственное число 0, такое, что а + 0 = a для любого числа а.

5. Для любого числа а существует такое число (-а), что а + (-а) = 0.

6. Существует единственное число 1 ≠ 0, такое, что для любого числа а имеет место равенство

а ∙ 1 = a.

7. Для любого числа а ≠ 0 существует такое число а-1, что а ∙ а-1 = 1. Число а-1 обозначается также символом .

В. Сравнение вещественных чисел

Для любых двух вещественных чисел имеет место одно из трех соотношений: а = b (а равно b), а > b (а больше b) или а < b (а меньше b). Отношение равенства обладает свойством транзитивности: если а = b и b = с, то а = с.

Отношение "больше" обладает следующими свойствами.

8. Если а > b и b > с, то а > с.

9. Если а > b, то а + с > b + с.

10. Если а > 0 и b > 0, то а b > 0

Вместо соотношения а > b употребляют также b < а. Запись а ≥ b (b ≤ а) означает, что либо а = b, либо a > b. Соотношения со знаками >, <, ≥ и ≤ называютcя неравенствами, причем соотношения типа 8 < 10 — строгими неравенствами.

11. Любое вещественное число можно приблизить рациональными числами с произвольной точностью.

С. Непрерывность вещественных чисел.

12. Пусть Х и Y — два множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и  выполняется неравенство х ≤ у, то существует хотя бы одно число с, такое, что для всех х и у выполняются неравенства х ≤ с ≤ у.

Отметим здесь, что свойством непрерывности обладает множество всех вещественных (действительных) чисел, но не обладает множество, состоящее только из рациональных чисел.

Таким образом, вещественные числа представляют собой множество элементов, обладающих свойствами А-С. Такое определение, из которого выводятся остальные свойства, называется аксиоматическим, а сами свойства А-С — аксиомами вещественных чисел.

Числовая прямая (числовая ось) и множества на ней 

Здесь нам понадобится понятие о соответствии множеств, позже мы еще раз обратимся к нему в разделе о функциональной зависимости. Будем говорить, что между множествами Х и Y установлено соответствие, если по какому-либо закону или правилу каждому элементу х  Х соответствует элемент у  Y. Соответствие называется взаимно однозначным, если любому х  Х соответствует только один элемент из Y и, наоборот, любому у  Y соответствует только один элемент .

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Это дает возможность наглядно геометрически изобразить вещественные числа на числовой оси. На прямой выберем точку О начала отсчета, укажем направление отсчета (обычно слева направо, рис. 1.2) и единицу измерения или масштаб.

Рис. 1.2

Эти три действия полностью определяют нам числовую (координатную) ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Пусть М — произвольная точка на этой оси. Поставим ей в соответствие число x, равное по величине длине отрезка ОМ, со знаком +, если точка М находится справа от начала отсчета, или со знаком —, если М расположена слева от точки О. Тогда число х называется координатой точки х. Справедливо и обратное утверждение: каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на координатной оси, координата которой равна х.

Пусть а и b — два числа, причем а < b. Укажем некоторые наиболее употребительные числовые множества:

1) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству а ≤ х ≤ b, называется отрезком (сегментом) и обозначается [а, b];.

2) множество всех чисел, удовлетворяющих строгому неравенству а < х < b, называется интервалом и обозначается (а,b);

3) множество всех вещественных (действительных) чисел будем обозначать

4) аналогично пп. 1-3 можно определить числовые множества типа (a,b], [а, b), (а, +), (-,b), [а, +) и (-, b].

Все эти множества называются промежутками; промежутки типа 1 и 2 и первые два из п. 4 называются конечными, а числа а и b — их концами; остальные промежутки называются бесконечными. Промежутки первых двух типов из п. 4 называются полуинтервалами. 

Числовым промежуткам соответствуют промежутки на координатной оси. Сегмент [а, b] изображается отрезком М1М2, таким, что точка M1 имеет координату а, точка M2 — координату b. Вся координатная прямая является изображением множества всех вещественных чисел, и потому множество (-, ) называется числовой прямой (осью), а любое число называется точкой этой прямой.

 

Грани числовых множеств

Будем говорить, что множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число d, такое, что для любого х  Х выполняется неравенство х ≤ d (х ≥ d). Число d тогда называется верхней (нижней) гранью множества X. Множества, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными. Любой конечный промежуток ограничен. Интервалы (а, +) и (-, b) представляют собой множества, ограниченные соответственно снизу (сверху), но не ограниченные сверху (снизу). Вся числовая прямая не ограничена ни снизу, ни сверху.

Любое ограниченное сверху (снизу) множество имеет бесконечное число верхних (нижних) граней. Действительно, если число d является верхней гранью множества X, то и любое число d1 > d, согласно определению верхней грани, также будет верхней гранью этого множества. Наименьшая верхняя грань множества X, ограниченного сверху, называется точной верхней гранью этого множества; она обозначается символом supX. Наибольшая нижняя грань ограниченного снизу множества Х называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом infX. Эти символы заимствованы из латинского языка: supremum — наивысший и infimum — наинизший.

Приведем некоторые примеры. Пусть Х = (а, b). В таком cлучае числа а и b являются точными нижней и верхней гранями множества X, т.е. а = inf X, b = sup X. Пусть X = (-, b). Тогда нижних граней (в том числе и точной нижней грани) множество Х не имеет, а число b является его точной верхней гранью: b = sup X.

Известна следующая теорема о существовании точной верхней (нижней) грани числового множества, которую мы приводим ниже без доказательства.

ТЕОРЕМА 1. Если непустое числовое множество ограничено сверху (снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

 

Абсолютная величина числа

Приведем определение абсолютной величины вещественного числа х (модуля числа):

х,  если х ≥ 0;

|x| =

-х, если х < 0.

Из этого определения следует ряд свойств абсолютной величины, который мы приводим ниже без доказательств.

1. |х| ≥ 0.

2. |х| = | - x|.

3. -|х| ≤ х ≤ |x| .

4. Пусть а — положительное число. Тогда неравенства |х| ≤ а и -а ≤ х ≤ а равносильны.

5. Для любых двух действительных чисел х и у справедливо неравенство

|x + y| ≤ |x| + |y|.

В это свойство можно включить также и неравенство

|х – у| ≤ |х| + |у|.

6. Для любых двух действительных чисел х и y справедливо неравенство 

|х – y| ≥ |х| -|у|.

УПРАЖНЕНИЯ

Определить множества значений x, удовлетворяющих следующим условиям.

|х| < 2. 1.2. x2 ≤ 9. 1.3. х2 > 25. 1.4. |x – 3| < 1. 1.5. (x2 + l) ≤ 17. 1.6 (x2 - 3) ≥ 1. 1.7. х - х2 > 0.

1.8. x2 – 2x + 7 > 0. 1.9. x2 – 2x + 5 < 0.


На главную