Линейная и векторная алгебра Кратные интегралы Математическая статистика Математический анализ

Введение в математический анализ. Вычисление интеграла

Признак полного дифференциала на плоскости

Если - дифференцируемая функция двух переменных, то . Выясним, при каких условиях на существует такая функция , что , т.е. . В предположении непрерывности смешанных производных: или . Докажем, что если - односвязная область, то верно и обратное.

Теорема 3. Если в односвязной области , то существует такая, что .

Доказательство. Возьмем произвольную точку и рассмотрим переменную точку и любую кривую , соединяющую с . Замена переменных в двойном интеграле

По следствию теоремы 2, зависит только от конечной точки и, значит, есть некоторая функция . Покажем, что - искомая функция, т.е. . Для этого рассмотрим точку и рассмотрим , где - отрезок прямой, соединяющей точки . На этом отрезке и . Применяя теорему о среднем, получаем (ввиду непрерывности ), что , где . Тогда . . Для доказательство аналогичное.

Замечание. Если векторное поле обладает свойством в односвязной области , то говорят, что - потенциальное поле и найденная функция такая, что , т.е. , называется потенциалом поля .

Следствие. В потенциальном поле работа вдоль любого замкнутого контура равна 0. Вообще, если соединяет , то работа вдоль равна . Т.е. работа равна разности потенциалов.

Примечание. Условие односвязности существенно.

Например, если область не содержит начала координат, то . Действительно,

, .

Т.о. условие выполнено во всей области (которая не содержит точки ).

С другой стороны, пусть содержит . Рассмотрим - окружность радиуса , содержащуюся в . Параметризуем эту окружность: . Тогда . Это связано с тем, что область, в которой непрерывны многосвязная.

11.Площадь поверхности

Двусторонние поверхности. Рассмотрим сначала поверхность , представляющую собой график функции (1), имеющей непрерывные частные производные для всех , где - область на плоскости.

У этой поверхности, очевидно, есть 2 стороны: верхняя и нижняя. Верхняя сторона может быть охарактеризована тем, что из двух возможных направлений нормали к этой поверхности в любой ее точке выбирается то, которое составляет с осью острый угол (нижней стороне, соответственно, отвечает тупой угол между нормалью и осью ).

Пусть - точка этой поверхности, т.е. .

Уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке имеет вид (2).

Напомним, что в общем уравнении плоскости числа представляют собой координаты перпендикулярного к этой плоскости вектора. Согласно (2), - координаты некоторого нормального вектора к поверхности в точке . Этот вектор, вообще говоря, не единичный. Умножая его на один из нормирующих множителей мы получим 2 единичных вектора (3) и .

Известно, что координаты единичного вектора (3) – это косинусы углов, составляемых этим вектором с осями соответственно, т.е. . Т.к. , то . Кроме того, заметим, что .

Отметим, что , поэтому верхней стороне соответствует вектор .

Пусть - замкнутый контур, лежащий на поверхности и не пересекающей ее край. Выберем в произвольной точке этого контура одно из двух направлений нормали. Пусть при обходе этого контура нормаль меняется непрерывно. Тогда в исходную точку мы вернемся в исходным направлением нормали.

Описанное выше свойство поверхности (1) будем считать определением двусторонней поверхности (в общем случае, а не только для поверхностей вида (1)).

Бывают поверхности, не являющиеся двусторонними. Простейший пример – лист Мебиуса. Если обходить контур, то при возвращении в исходную точку направление нормали изменится на противоположное. Это доказывает одностороннесть листа Мебиуса.

В дальнейшем мы рассматриваем только двусторонние поверхности.

Обычно удобно задавать поверхности параметрическими уравнениями (4), где ( - некоторая плоская область).

При этом мы считаем, что уравнения (4) задают взаимно-однозначное соответствие между точками поверхности и точками .

Кроме того, мы считаем, что функции непрерывны в (при выполнении этих условий мы будем говорить: - непрерывно дифференцируемые функции от ) и что в любой точке из ранг матрицы равен 2. Это означает, что в любой точке хотя бы один из миноров этой матрицы не равен 0. Пусть, например, . Тогда по теореме о системе неявных функций (см. 2-й семестр) в некоторой окрестности уравнения можно решить и получить выражение через , т.е. . Тогда третье уравнение в окрестности рассматриваемой точки даст , т.е. мы получаем явное уравнение вида (1).

(Если , то имеем, по аналогии, , а если , то ).

Можно доказать (хотя мы этого не будем делать), что при сделанных выше предположениях уравнения (4) задают двустороннюю поверхность.

Обозначим вектор . Рассмотрим произвольную точку . Зафиксируем сначала и рассмотрим - кривую на поверхности. Тогда - вектор касательной к этой кривой. Аналогично, - вектор касательной к кривой .

Нормаль к поверхности является нормалью к касательной плоскости и перпендикулярна и . Условие означает, что и не параллельны. Поэтому в качестве нормального вектора можно взять (векторное произведение) или . Тогда единичные векторы нормали равны , при этом выбору верхней нормали соответствует выбор того же знака, что и знак числа , перед корнем (поскольку тогда ).

Выбор стороны поверхности задает ориентацию контуров, которые на ней лежат. Считаем, что контур обходится в положительном направлении, если "обходчик", держащий "голову" в нормальном к поверхности положении видит ограничиваемую контугом часть поверхности слева от себя.

Отрицательное направление противоположно положительному.

Обратно, выбор положительного направления обхода контуров на поверхности задает выбор стороны этой поверхности.

Если поверхность состоит из нескольких частей, каждая из которых – двусторонняя поверхность, то можно соединить эти части в одну двустороннюю поверхность, согласовав ориентацию общих границ.

Например, в случае двух частей ориентация будет согласованной, если положительное направление движения по общей границе происходит от на поверхности и от на .

Это замечание позволяет говорить о внешней стороне замкнутой поверхности.

Например, для сферы:

- верхняя полусфера, внешняя нормаль составляет острый угол с осью z.

- нижняя полусфера. Внешняя нормаль составляет тупой угол с осью z.

и вместе составляют внешнюю сторону сферы. При этом положетельные направления обхода "экватора" противоположны друг другу на и на .

Площадь двусторонней поверхности. Сначала определим понятие площади поверхности , заданной уравнением , где - непрерывная функция, обладающая непрерывными производными в некоторой квадрируемой области .

Предположим, что мы рассматриваем разбиение этой поверхности на части непрерывными кривыми. Под диаметром множествапонимается точная верхняя грань расстояний между точками этого множества. Диаметр разбиения- это наибольший из диаметров получившихся частей.Обозначают его .

В каждой полученной части поверхности выберем точку и рассмотрим касательную плоскость к поверхности в этой точке. Пересечения касательных плоскостей ограничат многоугольники, которые образуют "панцирь" на поверхности. Этот "панцирь" состоит из плоских многоугольников и, следовательно, имеет площадь, равную сумме площадей его многоугольников.

Если при стремлении к 0 диаметра разбиения площади "панцирей" имеют конечный предел, то он и называется площадью поверхности. Это определение позволяет легко найти формулу для вычисления площади поверхности. Рассмотрим плоский многоугольник, нормаль к которому имеет направляющие косинусы . Можем считать, что .

Без ограничения общности, достаточно рассматривать прямоугольник, причем, для простоты, считаем, что его проекция на плоскость есть прямоугольник со сторонами , а сам он имеет стороны .

Тогда и (). В общем случае .

Если нормали выбирались в точках , то пусть - их направляющие косинусы. Согласно сказанному выше, площадь "панциря" есть . Эта сумма является интегральной суммой для двойного интеграла . Как установлено в §1, , поэтому .

Если поверхность задана параметрически, то, как указывалось в §1, в окрестности любой ее точки ее возможно задать явным уравнением ( или или ).

Предположим, что поверхность, заданная параметрически, представляет собой конечное объединение частей, каждая из которых задана явным уравнением и рассмотрим одну из частей, для которой . Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равна . Перейдем в этом интеграле к переменным , учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель , а , и пусть области соответствует область на плоскости . Тогда по теореме о замене переменных .

Легко проверить, что в случае уравнения или получится интеграл такого же вида: .

Объединяя все полученные части, получаем общую площадь , где - вся область изменения параметров .

Отметим, что выражение можно преобразовать к более удобному для вычислений виду.

Числа суть координаты . Поэтому - квадрат модуля вектора . Напомним, что модуль векторного произведения равен ( - угол между ). Значит, . Здесь ; и . Итак, и формула для площади поверхности, заданной параметрически, такова: .


На главную