Линейная и векторная алгебра Кратные интегралы Математическая статистика Математический анализ

Вычисление интеграла

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

  Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность

x1, х2, …, хn = {xn}

  Общий элемент последовательности является функцией от n.

xn = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Вычисление криволинейных интегралов первого рода

  Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …

 {xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, …

Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.

Частное последовательностей:  при {yn} ¹ 0.

 

Ограниченные и неограниченные последовательности.

 Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

 Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

xn £ M.

  Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

xn ³ M

 Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

 Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim xn = a.

 В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥.

 Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

 

 Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

 Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3,  имеет пределом число 2.

 Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {xn} = 2.

 Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

 Доказательство. Предположим, что последовательность {xn}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

xn ® a; xn ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

 

 Теорема. Если xn ® a, то .

 Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:

, т.е.  , т.е. . Теорема доказана.

 Теорема.  Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

 Например, последовательностьне имеет предела, хотя

 

Монотонные последовательности.

  Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.

  2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.

  3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.

 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

 Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная

 {xn} = n – возрастающая и неограниченная.

  Пример. Доказать, что последовательность {xn}= монотонная возрастающая.

 Найдем член последовательности {xn+1}=

Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}=

, т.к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.

Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

 

 Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность

{xn} = .

  Найдем . Найдем разность

, т.к. nÎN, то 1 – 4n <0, т.е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

 

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

 Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

х1 £ х2 £ х3 ££ хn £ xn+1 £

Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,

xn > a - e.

Отсюда a - e < xn < a + e

-e < xn – a < e или ôxn - aô< e, т.е. lim xn = a.

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Теорема доказана.

Число е. Рассмотрим последовательность {xn} = . Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Понятие о комплексных числах. Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.  Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.


На главную