Атомные батареи для маяков, бакенов http://ftoe.ru/ Методика изучения курса http://ftoe.ru/ Свойства степенных рядов Примеры решения зада Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Физика лекции и примеры решения задач

Механические колебания и волны.

Гармонические колебания.

Scan10008Рассмотрим материальную точку массой m, которая может перемещаться в горизонтальном направлении без трения. Пусть точка закреплена на конце цилиндрической пружины. Движение материальной точки является одномерным. Для его описания достаточно одной координатной оси Х.

Выберем на горизонтальной оси Х начало отсчёта, соответствующее положению равновесия на величину х, в соответствии с законом Гука, возникает упругая сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная отклонению х:

где k – постоянная пружины, называемая также коэффициентом жёсткости. Величина к измеряется в Н/м.

Если материальную точку вывести из положения равновесия и отпустить или в положении равновесия сообщить ей начальный импульс, то она придёт в колебательное движение.

Динамическое уравнение движения материальной точки, описывающее её движение в направлении оси Х под действием упругой силы имеет следующий вид:

 или

Введём обозначение , тогда можно записать:

Таким образом, динамическое уравнение движения материальной точки под действием упругой силы является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. В теории линейных дифференциальных уравнений доказывается, что общее решение уравнения можно представить в виде суммы:

,

где  и  - произвольные постоянные,  и  - частные решения уравнения. Непосредственной подстановкой легко убедиться, что уравнению удовлетворяют функции: ; .

Тогда общее решение этого уравнения имеет вид:

Для нахождения постоянных  и  нужно воспользоваться начальными условиями:

.

Подстановка начальных условий в уравнение даёт:

;

Для нахождения  продифференцируем уравнение для x по времени по времени:

После подстановки начального условия:

Тогда:

Это выражение можно преобразовать. Для этого введём величины: А и , определяемые соотношением:

; .

Подставим эти выражения:

или

Это уравнение является кинематическим уравнением движения материальной точки под действием упругой силы.

Движение, в котором координата меняется по данному синуса или косинуса, называется гармоническим колебанием. Сама система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

Так как cos изменяется от -1 до +1, то . Положительная величина А, определяющая наибольшее отклонение точки от положения равновесия, называется амплитудой колебаний.

;

Если , то ;

Если , то .

Величина

называется фазой колебания,  - начальная фаза колебаний.

Промежуток времени, в течение которого фаза изменяется на  называют периодом колебаний:

; ; .

Число колебаний, совершаемое в единицу времени называют частотой колебаний:

;

Т.к. , то величина  даёт число колебаний за  секунд.

,

 - круговая или цилиндрическая частота.

Построим график зависимости х от времени для гармонических колебаний:

Scan10009

Скорость точки опережает координату на  по фазе. Ускорение опережает координату по фазе на .

Найдём выражение для полной механической энергии гармонического осциллятора.

Учитывая, что :

.


Примеры решения задач по различным разделам физики