Способ параллельного перемещения http://fimat.ru/sposob/ Энергетический баланс в электрической цепи Электротехника

Физика лекции и примеры решения задач

Свободные гармонические колебания

Колебания, которые совершает система около положения равновесия после того, как она была выведена из состояния равновесия, носят название собственных или свободных колебаний. Собственные колебания возникают в результате достаточно быстрого изменения действующей на тело силы, т.е. воздействия, имеющего характер толчка.

22Рассмотрим цилиндрическую пружины, один конец которой запрещён, а к другому подвешено тело массой m. Запишем уравнение движения в случае простой упругой деформации – продольного растяжения (сжатия). Пусть на тело действует внешняя сила , сила трения , сила тяжести. Запишем теорему о движении центра масс груза:

Рассматриваемая задача одномерна, если  и остальные силы направлены вдоль оси пружины. Пусть отсутствует внешняя сила. Направим ось 0Х вдоль оси пружины.

Если трение отсутствует, то колебания системы будут являться свободными гармоническими:

 (1)

Пусть координата центра масс груза в положении равновесия равна :

;  (2)

Подставляя (2) в (1):

, но .

Следовательно:

, где

или  (3)

Величина Х определяет смещение груза из положения равновесия. Однако положение равновесия смещается под действием силы тяжести. Но это не затрагивает математическую сторону колебательного процесса.

, где

 - собственная частота.

Период колебаний не зависит от амплитуды А. Это свойство называется изохронностью колебаний.

Затухающие колебания материальной точки

Ранее мы рассматривали случаи колебаний, при которых на движущееся тело не действуют силы сопротивления. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления. На преодоление сопротивления затрачивается энергия колебательного движения и, в конечном счёте, колебания затухают.

Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся на практике случаев, когда сила сопротивления пропорциональна скорости материальной точки:

В одномерном случае

, (1)

где r – коэффициент сопротивления. Тогда управление, описывающее затухающие колебания, очевидно, будет иметь вид:

Введём обозначения

,

Получим:

 (2)

В случае гармонического осциллятора размах колебаний, определяемый амплитудой А, остаётся постоянным. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому будем искать решение уравнения (2) в виде:

, (3)

где А(t) – некоторая функция времени. Продифференцировав (3) по t , найдём:

После подстановки этих выражений в (2) получаем:

Отсюда:

; ; (4)

Представим первое уравнение в виде:

Интегрируя: . Потенцируя:

Легко видеть:

;

Подставляя в (4):

Величина . Отсюда:

При условии, что , величина будет вещественной, и решение уравнения (2) может быть представлено в виде:

Здесь  - начальная амплитуда,  - начальная фаза колебаний.

Период колебаний:

 (5)

При  процесс перестаёт быть периодическим. Амплитуда колебаний уменьшается по закону:

,

 - коэффициент затухания.

20

В результате затухания колебаний системы состояние ( ) переходит в равновесие.

Процесс, в результате которого параметры, характеризующие физическую систему, переходят к своим равновесным значениям, называют процессом релаксации. Время, в течение которого отклонения системы от равновесия уменьшается в е раз, называют временем релаксации. Найдём время релаксации :

 или

 и

Таким образом, коэффициент затухания обратен промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Отклонение двух произвольных последовательных амплитуд при затухающих колебаниях есть величина постоянная:

 

Это отношение называют декрементом затухания, а логарифм этого отношения – логарифмическим декрементом затухания:

 (6)

Логарифмический декремент затухания является естественной характеристикой затухания, которая показывает, как амплитуда колебаний за один период. Тогда как коэффициент затухания  определяет время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Часто колебательные системы характеризуют также добротностью. Добротностью называют отношение энергии в системе в данный момент времени и убыли энергии за период, умноженный на .

 (7)

Поскольку энергия E(t) пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:

Учитывая (6):

Разлагая в ряд  и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим:

Добротность системы обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания.


Примеры решения задач по различным разделам физики