выставки импрессионистов Импрессионисты и символисты

Физика лекции и примеры решения задач

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача1.1

Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси х. По прошествии времени =0.1с.от начала движения смещения точки от положения равновесия  см, скорость =62см\с, ускорение =-640см./. Определить: 1) амплитуду, циклическую частоту и начальную фазу колебаний; 2)смещение, скорость и ускорение в начальный момент().

Р е ш е н и е

Закон движения материальной точки известен из условия задачи:

, (1.8)

где х – смещение от положения равновесия гармонически колеблющейся точки в момент времени t, А – амплитуда,  - циклическая частота,  - начальная фаза колебаний.

Законы изменения скорости и ускорения со временем могут быть найдены последовательным дифференцированием по времени уравнения (1.8):

 (1.9)

 (1.10).

Подставляя в уравнения (1.8)-(1.10) заданные значения времени, координаты, скорости и ускорения, получим три уравнения, содержащие в качестве неизвестных А,  и . Совместное решение такой системы позволит найти все эти искомые величины. После этого подстановка в те же уравнения времени t=0 позволит найти начальные смещение, скорость и ускорение. 

Итак, подставив в уравнения (1.8)-(1.10)  получим:

 (1.11)

Рассмотрим сначала первое и третье уравнение системы (1.11). Легко увидеть, что

откуда

Возведя в квадрат первые два уравнения системы (1.11) (предварительно следует второе из уравнений разделить на ) и почленно сложив их, получим

.

Откуда амплитуда колебаний

Чтобы найти начальную фазу, подставим найденные значения А и , например, в первое уравнение системы (1.11). Так как начальную фазу принято выражать в долях π, то запишем уравнение (1.8), введя период колебаний:

По найденным значениям А и определим х(0),  и  - координату, скорость и ускорение точки в начальный момент времени. Для этого подставим в уравнения (1.8)-(1.10) значение t=0 :

х(0)=-2,7см; =76см/с; =289см/с2.

Задача 1.2

Материальная точка совершает гармонические колебания вдоль оси ox с периодом Т и амплитудой А. За какое время, считая от начала движения, она пройдёт расстояние S=A/2: A?.

Начальная фаза .

Р е ш е н и е

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону

, где х – смещение точки от положения равновесия в момент времени t, А – амплитуда,  - циклическая частота , - начальная фаза колебаний. Если =0, то (см. уравнение в начальный момент времени (при t=0) точка находится в положении равновесия, т. е. х(0)=0. Путь, пройденный точкой за время t(рис 1.а)

S=x(t) (1.12)

  Рис.1.1.

(При t = Т / 4 точка, дойдя до х=А, начнёт движение к началу координат, т. е. в сторону, противоположенную первоначальному направлению движения, и тогда выражение (1.12) будет несправедливо).

Если , то (см. уравнение (1.12)) в начальный момент движущаяся точка находится в крайнем положении, т.е. х(0)=А. С возрастанием времени координата х уменьшается, а путь, пройденный точкой (см. рис 1, б), будет равен

S=A-x(t)  (1.13)

Очевидно, уравнение (1.13) справедливо до тех пор, пока , т. е. до тех пор, пока точка движется в одном направлении. Чтобы найти время t, в равенства (2) и (3) подставить заданные значения S и закон движения (1.8).

1. =0. Подставим в уравнение (1.12) поочерёдно   и . Если при этом x(t) выразить из уравнения (1), то, учитывая, что=0, получим:

 

откуда

Таким образом, начиная двигаться из положения равновесия (х(0)=0), колеблющаяся точка проходит расстояние s=A за время , причём первую половину пути колеблющаяся точка проходит за время , вторую – за время , т. е. вдвое медленнее.

П.  Подставим  и  поочерёдно в уравнение (1.13). Если выразить x(t) из уравнения (1.8) с учётом, что, получим:

откуда 

Когда точка начинает движение из крайнего положения, то расстояние А колеблющаяся точка, как и в первом случае, проходит за , но теперь первую половину пути точка проходит за время , а вторую за время , т.е. вдвое быстрее.


Примеры решения задач по различным разделам физики