Вычисление площади криволинейной поверхности Контрольная работа Понятие натуральных чисел

Физика лекции и примеры решения задач

Задача 1.3.

 Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудой =5см и =10см и сдвигом по фазе . Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебательного процесса.

Р е ш е н и е

Законы движения для каждого процесса могут быть записаны в виде

где х1, х2 – смещение от общего для обоих процесса положения равновесия,  - циклическая частота. (Поскольку начальная фаза определяется выбором начала отсчёта времени, можно положить , тогда ).

Результирующая смешения точки от положения равновесия равна:

 (1.14)

Поскольку оба колебания гармонические с одинаковой частотой и одного направления, результирующее колебание тоже гармоническое с той же частотой и закон движения может быть записан в виде

  (1.15)

где А – амплитуда результирующего колебания,  - его начальная фаза, равная сдвигу по фазе относительно первого колебания.

Сравнивая уравнения (1.14) и (1.15), получаем:

 (1.16)

Уравнения (3) должно быть справедливо для любого момента времени, т. е. является тождеством. Неизвестные А и  могут быть найдены либо аналитическим методом при непосредственном решение тождества (1.16) (при сложении уже трёх колебаний аналитический метод оказывается чересчур громоздким), либо методом векторного сложения колебаний.

Второй метод заключается в следующем. Любой гармонический процесс можно привести в однозначное соответствие с вращением вектора  (называемого вращающимся вектором амплитуды) в плоскости XOY вокруг оси OZ с угловой скоростью , равной циклической частоте колебаний. Модуль вектора  равнее амплитуде колебаний, угол образованный этим вектором с осью OX равен начальной фазе колебаний. Проекция вращающегося вектора амплитуды на ось OX, в любой момент времени

.

При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между вращающимися векторами амплитуды не меняется с течением времени.

При сложении колебаний, происходящих с одинаковой частотой, угол между вращающимися векторами амплитуды не меняется с течением времени и равен  разности начальных фаз. Поэтому при сложении таких колебаний все векторы можно показывать для момента t=0.

 В данном случае следует ввести два вращающихся вектора и . Вектор  будет вращающимся вектором амплитуды результирующего колебания. Модуль этого вектора равен искомой амплитуде А, угол наклона к оси OX – искомой начальной фазе .

Аналитический метод. Пользуясь формулой косинуса суммы двух углов, перепишем уравнение (1.16):

 

Это уравнение будет тождеством относительно переменной, если коэффициенты при  и  в левой части тождества равны соответствующим коэффициентам в правой части:

 

Решим эту систему уравнений относительно неизвестных A и :

 

Задача 1.4.

 Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает её на =5см. Затем тело сместили из положения равновесия по вертикали и опустили, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их период.

Р е ш е н и е

Период колебаний можно определить только в том случае, если груз, движущийся поступательно, совершает гармонические колебания. Гармонические колебания имеют место, когда на тело действуют упругая или квазиупругая сила , где x – смещение из положения равновесия, а k – жесткость пружины (для квазиупругой силы – коэффициент пропорциональности). В этом случае период

 (1.17)

где m – масса тела.

Если бы тело совершало колебания только под действием упругой силы , их период можно было бы определить по формуле (1.17). Но в данном случае на тело действует ещё сила тяжести mg. Чтобы выяснить её влияние на колебания груза, рассмотрим силы, действующие на тело, в двух положениях:

 1)тело неподвижно висит на пружине. Равнодействующая сил, приложенных к телу. Приняв направление вниз за положительное, запишем

 (1.18)

 2)тело смещено из положения равновесия на . Будем считать  величиной алгебраической. Пружина в этом случае растянулась на . Равнодействующая сил, приложенных к телу, равна

 

Раскрывая скобки и учитывая уравнение (2), получим

 (1.19)

Из уравнения (1.19) видно, что равнодействующая сил mg и  пропорциональна растяжению пружины и противоположна ему по направлению, если только это расстояние отсчитывать от положения равновесия висящего на пружине груза. Следовательно, и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания. По формуле (1.17), где согласно уравнению (1.18) найдём период этих колебаний

 


Примеры решения задач по различным разделам физики