Математика Приложения двойных интегралов примеры Кратные и криволинейные интегралы Примеры решения

Физика лекции и примеры решения задач

Задача 1.5.

Известно, что сложное колебание (рис. 1.2) состоит из двух синусоидальных колебаний. Найти их частоты и амплитуды.

Решение.

Рис. 1.2.

Приведённый график изображает колебание с медленно периодически изменяющейся амплитудой. Такие колебания, называемые биениями, получают в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с мало различающимися частотами. При этом частота сложных колебаний оказывается равной полусумме частот слагаемых колебаний и :

 (1.20)

а частота изменения амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот

 (1.21)

Из графика (см. рис.1.2) видно, что за одну секунду произошло девять колебаний, значит =9Гц. За это время совершилось два полных цикла изменения амплитуды, следовательно , =2Гц. Подставив в уравнение (1.20) и (1.21) значения , и решив эту систему уравнений, найдём

   .

Амплитуда сложного колебания в каждый момент времени определяется формулой

 

При этом её максимальной значение при равно

. (1.22)

Минимальное значение амплитуды получим при

. (1.23)

Но из графика видно, что  Подставив эти значения в уравнения (1.22) и (1.23), найдём

  .

Задача 1.6

Точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями ,  (смещение в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить её на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость и ускорение точки в момент t=0,5с.

Решение.

Так как циклические частоты слагаемых колебаний одинаковы, траекторией будет эллипс. Исключив время t из двух заданных уравнений, получим

.

Это каноническое уравнение эллипса с полуосями a=2см и b=1 см. (рис. 1.3).

Рис.1.3.

При возрастании t увеличивается также x, значит, точка движется по траектории против часовой стрелки.

Скорость  точки при её движении по эллипсу равна векторной сумме  скоростей в слагаемых колебаниях. Поскольку эти колебания взаимно перпендикулярны то

. (1.24)

Аналогично определим искомое ускорение:

, (1.25)

где  - ускорение точки в слагаемых колебаниях.

Исходя из определения скорости и ускорения, дифференцируя уравнение колебаний точки получим:

Подставив эти значения в формулы (1) и (2), найдём:

Взяв t= 0,5с. И выполнив вычисления, получим:

V=3,14см/с, a=19,7см/

б) Упругие волны


Примеры решения задач по различным разделам физики