Лабораторные работы по физике

Солнечные коллекторы и аккумуляторы теплоты. Лабораторные работы по электротехнике Меры по повышению безопасности РБМК http://teldig.ru/ Искусство Возрождения Искусство Нидерландов

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.1

ИЗМЕРЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Цель работы

Изучить основы обработки результатов прямых и косвенных измерений.

Измерение объема полого цилиндра.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ

Лабораторные работы физического практикума посвящены изучению ряда физических явлений. Это изучение состоит в экспериментальном определении некоторых физических величин и проверке соотношений, связывающих их. Измерения физических величин разделяются на прямые и косвенные. К прямым измерениям относятся такие, результаты которых непосредственно считываются со шкалы прибора. Косвенные измерения производятся путем вычислений по формулам, связывающим результаты прямых измерений. При этом мы исходим из того, что существуют точные или “истинные” значения интересующих нас физических величин и пытаемся получить в результате измерений сведения о них. Пусть Х – истинное значение величины, х1, х2, …, хn – результаты n ее измерений. Тогда разности

 Х – х1 = х1,

 Х – х2 = х2, (1)

 ……………

Х – хn = хn

называются погрешностями или ошибками 1- го, 2- го, …, n- го измерений. Погрешности сопровождают все измерения. Они делятся на систематические, случайные и промахи.

Систематические погрешности – это постоянные по величине и знаку погрешности, которые в каждом последующем измерении либо увеличивают, либо уменьшают результат на одну и ту же величину. Причинами их могут быть ошибки метода измерений, неисправности и неправильная установка приборов, их конструктивные возможности и взаимное влияние, неполный учет влияния всех внешних факторов при выполнении измерений, какое – либо упущение со стороны экспериментатора. Иногда измерения сопровождаются погрешностями, изменяющимися по определенному закону (например, вследствие удлинения отдельных частей прибора в результате их нагревания в процессе работы). Они тоже относятся к систематическим. Систематические погрешности могут быть учтены или исключены, если измерения одних и тех же величин произвести различными методами и приборами с последующим анализом результатов. В учебных лабораториях, как правило, не ставится задача об обнаружении и исключении систематических ошибок.

Случайные погрешности – неопределенные по величине и знаку погрешности, которые нельзя заранее предвидеть и от которых в принципе невозможно избавиться. Они сопровождают любой эксперимент. Причиной их является непостоянство физических условий, в которых производятся измерения, например небольшие колебания температуры воздуха, незначительное сотрясение установки от проезжающих по улицам автомашин, хлопанья дверями в соседних помещениям и т.п., а также ошибки, которые вносят в результаты сам наблюдатель вследствие несовершенства наших органов чувств.

Изучение влияния случайных погрешностей на результаты измерений занимает теория ошибок, которая является разделом теории вероятностей и математической статистики. Приведенные ниже результаты этой теории покажут, как получить при достаточно большом числе измерений значения измеряемых величин, достаточно близкие к истинным значениям.

Промахи – это большие по величине погрешности, сильно искажающих результат. Они являются следствием неправильной записи, неверного отсчета. В теории разработаны приемы, с помощью которых можно подсчитать с определенной вероятностью является ли данный результат промахом или нет. Мы же будем просто отбрасывать сильно отличающие от остальных результаты как не внушающие доверия.

На особом месте стоят погрешности приборов. Это систематические погрешности, т.к. на определенном участке шкалы прибор либо постоянно завышает результат, либо занижает его. Причиной появления их могут быть конструктивные недостатки приборов, неточность в нанесении шкалы, изменения показаний в результате длительной непрерывной работы из – за нагревания прибора и т.п. Знак приборной погрешности обычно неизвестен, а максимальная величина ее задается либо в паспорте к прибору, либо с помощью указания класса точности прибора на его шкале. У электроизмерительных приборов, приборов теплового контроля класс точности прибора равен в процентах отношению максимальной его погрешности к максимальному показанию и обозначается одним из чисел 0,05; 0,1; 0,2; … 4,0. Например, если класс точности вольтметра 0,5 то  т.е.

В случае весоизмерительных приборов класс точности обозначается цифрой и последующей за ней буквой. Цифра указывает, в каком разряде после запятой содержится ошибка в относительной погрешности, выраженной в процентах, а буква, - какая цифра стоит в указанном разряде. Буквы а, б, в, г, … соответствуют цифрам 1, 2, 3, 4, … Например, если класс точности весов 2а, значит  для класса 1в - . Если погрешность приборов не указана, то в качестве нее берется половина цены наименьшего деления шкалы.

При отсчете по приборам наблюдатель совершает ошибку отсчета. Если он производит отсчет до целых делений, то максимально возможная ошибка отчета равна половине деления, при отсчете до четверти деления – восьмой его части и т.д. Есть ли надобность делить на глаз при отсчете деления прибора на мелкие части? Очевидно нет. Отсчет нужно производить таким образом, чтобы ошибка, допущенная при отсчете, была той же величины или несколько меньше ошибки прибора. Ведь в конечном результате эти ошибки суммируются, и не имеет смысла намного усложнять измерительную работу, отсчитывая малые доли деления, т.к. сумму определит ошибка прибора, которая приблизительно равна половине цены наименьшего деления.

Случайные погрешности проявляют себя в том, что результаты измерений отличаются последними цифрами. Однако при повторных измерениях мы иногда получаем один и тот же результат. Причина этого не в отсутствии случайных погрешностей, а в недостаточной чувствительности прибора. Погрешность прибора в этом случае значительно превышает погрешности случайные. Например, при измерении длины небольшого бруска обычной миллиметровой линейкой заведомо ясно, что каждый раз будет получаться один и тот же результат. При измерении этого же размера микрометром значения последующих измерений возможно будут уже отличаться последними цифрами. Рекомендуется для измерений выбирать такие приборы, которые достаточно чувствительны, и производить возможно большее количество измерений. Используя методы теории ошибок, можем получить с определенной вероятностью тем более близкие к истинному значению результат, чем большее число измерений произведено.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Случайные погрешности обладают следующими свойствами.

При большом числе измерений одинаковые по величине, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто.

Большие по величине погрешности встречаются с меньшей вероятностью, чем малые. Из соотношений (1), переписав их в виде

Х = х1+ х1

  Х = х2 + х2

 ……………

Х = хn  + хn

и сложив столбиком, можно определить истинное значение измеряемой величины следующим образом:

  или .

Если считать, что систематические ошибки устранены, то при бесконечно большом числе измерений вторая сумма в числителе обращается в нуль на основании 1 – го свойства случайных погрешностей. Остается

 (2)

т.е. истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению результатов измерений, если их бесконечно много. При ограниченном, а тем более при небольшом числе измерений, с которым мы обычно имеем дело на практике, равенство (2) носит приближенный характер.

Пусть в результате нескольких измерений получены следующие значения измеряемой величины Х: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1. Построим диаграмму распределения этих результатов, откладывая по оси абсцисс показания прибора в порядке их возрастания. Расстояния между соседними точками по оси абсцисс равны удвоенной максимальной ошибке отсчета по прибору. В нашем случае отсчет произведен до 0,1. Этому и равно одно деление шкалы, нанесенной на ось абсцисс. По оси ординат откладываем величины, пропорциональные относительному числу результатов, соответствующих тому или иному показанию прибора. Относительное число, или относительную частоту результатов, равных хк, будем обозначать W(хк). В нашем случае

  

  

 

 

Каждому хк ставим в соответствие

  (3)

где А – коэффициент пропорциональности.

 


 

  

  

  

 

     

Диаграмма, которую называют гистограммой, отличается от обычного графика тем, что точки не соединены плавной кривой линей, а через них проведены ступеньки. Очевидно, что площадь ступеньки над некоторым значением хк пропорциональна относительной частоте появления этого результата. Выбирая соответствующим образом коэффициент пропорциональности в выражении (3), можно эту площадь сделать равной относительной частоте появления результата хк. Тогда сумма площадей всех ступенек, как сумма относительных частот всех результатов, должна быть равна единице

  (4)

Отсюда находим А=10. Условие (4) называется условием нормировки функции (3).

Если производить серии измерений по n измерений в каждой серии, то при небольшом n относительные частоты одного и того же значения хk, найденные из различных серий, могут значительно отличаться друг от друга. По мере увеличения числа измерений в сериях колебания в значениях W(xk) уменьшаются и эти значения приближаются к некоторому постоянному числу, которое называется вероятностью результата хк и обозначается Р(хк).

Допустим, что, производя опыт, мы не отсчитываем результат до целых делений шкалы или их долей, а можем фиксировать ту точку, где остановилась стрелка. Тогда при неограниченно большом числе измерений стрелка побывает в каждой точке шкалы. Распределение результатов измерений приобретает в этом случае непрерывный характер и вместо ступенчатой гистограммы описывается непрерывной кривой y = f(x). На основании свойств случайных погрешностей можно заключить, что кривая должна быть симметрична и, следовательно, максимум ее приходится на среднее арифметическое значение результатов измерений, равное истинному значению измеряемой величины. В случае непрерывного распределения результатов измерений не имеет

 


 

 

   

смысла говорить о вероятности какого – либо из их значений, т.к. имеются значения, как угодно близкие к рассматриваемому. Теперь уже следует ставить вопрос о вероятности встретить при измерениях результат в некотором интервале около значения хк, равном , . Подобно тому как на гистограмме относительная частота результата хк равнялось площади ступеньки, построенной над этим результатом, на графике для непрерывного распределения вероятность нахождения результата в интервале (,), равна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной кривой f(x). Математическая запись этого результата имеет вид

,

если мало, т.е. площадь заштрихованной криволинейной трапеции заменяется приблизительно площадью прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f(хк). Функцию f(х) называют плотностью вероятности распределения результатов измерений. Вероятность найти х на некотором интервале равна плотности вероятности для данного интервала, умноженной на его длину.

Кривая распределения результатов измерений, полученная экспериментально для некоторого участка шкалы прибора, если ее продолжить, асимптотически приближая слева и справа к оси абсцисс, аналитически хорошо описывается функцией вида

  (5)

Подобно тому как суммарная площадь всех ступенек на гистограмме равнялась единице, вся площадь между кривой f(х) и осью абсцисс, имеющая смысл вероятности встретить при измерениях хоть какое – либо значение х, тоже равна единице. Распределение, описываемое этой функцией, называется нормальным распределением. Основной параметр нормального распределения – дисперсия s2. Приближенное значение дисперсии может быть найдено из результатов измерений по формуле

  (6)

Эта формула дает близкое к действительному значение дисперсии только при большом числе измерений. Например, найденное по результатам 100 измерений σ2 может иметь отклонение от действительного значения 15%, найденное по 10 измерениям уже 40%. Дисперсия определяет вид кривой нормального распределения. Когда случайные погрешности малы, дисперсия, как следует из (6), невелика. Кривая f(х) в этом случае уже и острее вблизи истинного значения Х и быстрее стремится к нулю при удалении от него, чем при больших погрешностях. Следующий рисунок покажет, как меняется вид кривой f(х) для нормального распределения в зависимости от σ.

 


 х

 

 В теории вероятностей доказывается, что если рассматривать не распределение результатов измерений, а распределение средних арифметических значений, найденных из серии по n измерений в каждой серии, то оно тоже подчиняется нормальному закону, но с дисперсией, в n раз меньшей.

Вероятность нахождения результата измерений в некотором интервале () около истинного значения измеряемой величины равна площади криволинейной трапеции, построенной над этим интервалом и ограниченной сверху кривой f(x). Величину интервала   принято измерять в единицах, пропорциональных корню квадратному из дисперсии  В зависимости от величины k на интервал  приходится криволинейная трапеция большей или меньшей площади, т.е.

  (7)

где F(k) – некоторая функция от к. Вычисления показывают, что при

 k=1,  

 k=2, 

 k=3, 

Отсюда видно, что на интервале  приходится приблизительно 95% площади под кривой f(x). Этот факт находится в полном соответствии со вторым свойством случайных погрешностей, которые утверждает, что большие по величине погрешности маловероятны. Погрешности, превышающие по величине , встречается с вероятностью, меньшей 5%. Переписанное для распределения среднего арифметического значения n измерений выражение (7) принимает вид

  (8)

Величина  в (7) и (8) может быть определена на основании результатов измерений только приближенно по формуле (6)

 

Подставив это значение  в выражение (8), мы получим справа уже не F(k), а какую – то новую функцию, зависящую не только от величины рассматриваемого интервала значений Х, но и от числа произведенных измерений  Причем  

т.к. только при очень большом числе измерений формула (6) становится достаточно точной.

 

Решив систему двух неравенств, стоящих в скобке в левой части этого выражения относительно истинного значения Х, можем переписать его в виде

  (9)

Выражение (9) определяет вероятность, с которой истинное значение Х находится в некотором интервале длиной  около значения . Эта вероятность в теории ошибок называется надежностью, а соответствующий ей интервал для истинного значения – доверительным интервалом. Функция  рассчитана в зависимости от tn и n и для нее составлена  подробная таблица. Таблица имеет 2 входа: по tn и по n. С ее помощью для данного числа измерений n можно найти, задаваясь определенной величиной надежности Р, значения величины tn, называемой коэффициентом Стьюдента.

 

tn

tn

tn

tn

tn

n \ P

0,5

0,9

0,95

0,99

0,999

 2

1,00

6,3

12,7

63,7

636,6

 3

0,82

2,9

4,3

9,9

31,6

 4

0,77

2,4

3,2

5,8

12,9

 5

0,74

2,1

2,8

4,6

8,6

 6

0,73

2,0

2,6

4,0

6,9

 7

0,72

1,9

2,4

3,7

6,0

 8

0,71

1,9

2,4

3,5

5,4

 9

0,71

1,9

2,3

3,4

5,0

 10

0,70

1,8

2,3

3,3

4,8

Анализ таблицы показывает, что для определенного числа измерений с требованием роста надежности получаем растущие значения tn, т.е. увеличение доверительного интервала. Надежности, равной единице, соответствовал бы доверительный интервал, равный бесконечности. Задаваясь определенной надежностью, мы можем сделать доверительный интервал для истинного значения более узким, увеличивая количество измерений, т.к. Sn при этом изменяется незначительно, а  убывает и за счет уменьшения числителя, и за счет увеличения знаменателя. Произведя достаточное количество опытов, можно сделать доверительный интервал любой малой величины. Но при большом n дальнейшее увеличение числа опытов очень медленно уменьшает доверительный интервал, а количество вычислительной работы намного возрастает. Иногда в практической работе удобно пользоваться приближенным правилом: чтобы уменьшить доверительный интервал, найденный по небольшому числу измерений, в несколько раз, нужно увеличить число измерений во столько же раз.

бездепозитный бонус казино виннер.
На главную