Начертательная геометрия

Взаимная принадлежность точки, прямой и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

Построение точки в плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой.

Задача: Плоскость S задана пересекающимися прямыми а и b (рис. 2-3). Точка М(М2 ) принадлежит плоскости.

Найти М1.

Краткая запись условия задачи: SÇ b), М(М2 )Î S; М1 = ?

Рис. 2-3

Решение: Через точку М2 (рис. 2-4) проводим вспомогательную прямую

kÌ S: k2 Ç a2 =12; k2 Ç b2 =22;

затем находим горизонтальные проекции точек 1 и 2 по условию принадлежности прямым а и b соответственно; через две точки 11 и 21 проводим прямую k1 и на ней, с помощью линии связи, находим точку М1. И таких прямых можно провести сколько угодно, то есть, вариантов решения бесчисленное множество.

Рис. 2-4

Прямая принадлежит плоскости, если она:

1. Проходит через две точки плоскости;

2. Проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости.

В предыдущем примере мы рассмотрели, как построить прямую в плоскости по двум точкам. Для второго случая плоскость Г зададим треугольником АВС.

Задача: Плоскость Г задана DАВС (рис. 2-5).

Точка М(М1) принадлежит Г. Найти М2.

М(М1)Î Г(АВС). М2 = ?

Рис. 2-5

Решение:

Через точку М1 (рис.2-6) проведём прямую k, параллельную стороне треугольника АВ. Она пересечёт сторону АС в точке 1: k1 || A1 B1 ; k­1 A1 Ç C1 =11; с помощью линии связи найдём 12, проведём k2 параллельно А2В2 ней найдём точку М2:

Рис. 2-6

Алгоритмическая запись решения:

11Î A1C1 Þ 12Î A2C2; 12Î k2, k2 || A2B2; M2Î k2.

Как вы думаете?

Сколько решений имеет эта задача?

Плоскости частного положения

Плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Имеется две группы таких плоскостей:

Проецирующие плоскости

Плоскости уровня


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа