Начертательная геометрия

Параллельное проецирование

Проецирование называется параллельным, если центр проецирования удален в бесконечность, а все проецирующие лучи параллельны заданному направлению s.

s - направление проецирования

Чтобы найти точку А1 - параллельную проекцию точки А, построенную по направлению s на плоскости проекций П1, нужно через точку А провести проецирующий луч lA, параллельный прямой s, и определить точку его пересечения с плоскостью П1:

lA É A, lA || s, lA Ç П1 = А1

Точка А1 является параллельной проекцией как для точки А, так и для точек А1 и А2

Рис. 1-7

Свойства параллельных проекций

Геометрическая фигура в общем случае проецируется на плоскость проекций с искажением, но некоторые свойства оригинала сохраняются в проекциях при любом преобразовании и называются его инвариантами (остаются неизменными).

Первое свойство. Проекция точки на плоскость проекций есть точка.

Важно не само свойство, а следствие из него:

Каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций. Доказательством может служить то, что через точку А можно провести только одну прямую, параллельную заданному направлению проецирования, и эта прямая пересечется с плоскостью проекций только в одной точке.

lA É A, lA || s, lA Ç П1 = А1

Второе свойство. Проекция прямой линии в общем случае есть прямая.

Г Ç a, Г Ç П1 Þ a1

Если прямая параллельна направлению проецирования, то она вырождается в точку.

lC É C, lC || s, lC Ç П1 = C1; C1 - точка

Рис. 1-8

Третье свойство – принадлежности. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки

принадлежит проекции прямой, К Î а Þ К1 Î а1

Это свойство следует из определения проекции фигуры, как совокупности проекций всех ее точек (см. рис. 1-8)

Четвертое свойство - свойство простого соотношения трех точек. Если точка делит отрезок в некотором отношении, то и проекция этой точки делит отрезок в том же отношении (см. рис. 1-8).

|AK| : |KB| = |A1K1| : |K1B1|

Пятое свойство. Если прямые в пространстве параллельны, то их проекции ||.

m || n Þ m1 || n1, т. к. Г || S (Рис 1-9)

Рис. 1-9

Шестое свойство. Отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций, АВ || СD Þ А1В1 || С1D1 (Рис 1-9)

Седьмое свойство. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскостей проекций: A1B1C1 = A1B1C1

Рис. 1-10

Если П1 || П11, то А1А11 = В1В11 = С1С11 - как параллельные отрезки, заключенные между параллельными плоскостями, следовательно четырехугольники А1А11В1В11 и В1В11С1С11 и С1С11А1А11 являются параллелограммами, а у параллелограммов параллельные стороны равны. Поэтому DА1В1С1 = А11В11С11

Рассмотренные свойства параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа