Начертательная геометрия

Решение главных позиционных задач.

3 случая. 3 алгоритма.

Способ решения главных позиционных задач, или алгоритм решения, зависит от расположения пересекающихся геометрических фигур относительно плоскостей проекций.

Здесь имеет место З случая:

обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение. Задачи решаются по первому алгоритму.

одна из пересекающихся фигур - проецирующая, другая – непроецирующая. Задачи решаются по второму алгоритму.

обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие. Задачи решаются по третьему алгоритму.

Здесь уместно вспомнить, какие фигуры могут занимать проецирующее положение. Таковыми являются: прямая, плоскость, а из всех известных нам поверхностей проецирующее положение могут занимать только призматическая поверхность (частный случай - призма) и цилиндрическая поверхность (частный случай - прямой круговой цилиндр). На рис. 3-6 показаны примеры горизонтально проецирующих фигур. Напомним, что главными проекциями у них являются: у прямой а - точка а1, у плоскости S - прямая S1, у призмы D - треугольник D1

Рис. 3-6

( а в общем случае - или ломаная линия, или любой многоугольник), у цилиндра Г - окружность Г1 (в общем случае - замкнутая или разомкнутая кривая). Напомним также, что главные проекции проецирующих фигур обладают "собирательными" свойствами (рис. 3-6).

1 алгоритм

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение.

Решение рассмотрим на конкретном примере.

Задача : Найти проекции точки пересечения горизонтально-проецирующей плоскости S(m || n) с фронтально-проецирующей прямой а (рис. 3-7).

Рис. 3-7

Алгоритм: Так как в пересечении участвует прямая линия (а), то это - первая главная позиционная задача. Обе пересекающиеся фигуры - проецирующие относительно разных плоскостей проекций. Решение начинаем с фронтальной проекции.

Точка К является общим элементом плоскости S и прямой а, следовательно, КÎS и КÎа. Но, если КÎа, то К2Îа2, а, поскольку а2 - это точка (главная проекция, обладающая собирательными свойствами), то К2=а2.

Находим горизонтальную проекцию точки К. Так как плоскость S на П1 проецируется в прямую линию S1, то К1, как общий элемент S и а, будет располагаться на пересечении S1 и а1.

Выполним краткую алгоритмическую запись вышеизложенного:

S(m || n) Ç а = К; 1 ГПЗ, 1 алгоритм.

К Î а, а ^^ П2 Þ К2 = а2.

К Î а, К Î S, S ^^ П1 Þ К1 = S1 Ç а1.

Таким образом, решение 1 ГПЗ по первому алгоритму заключается в следующем:

Проекции общего элемента на чертеже уже присутствуют. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Решение сводится к их нахождению и обозначению.

Вторую главную позиционную задачу решим в соответствии с рассмотренным алгоритмом.

Задача: найти проекции линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра Ф с фронтально проецирующей призмой Г (рис. 3-8).

Рис. 3-8

Алгоритм: Пересекаются две поверхности, это - 2 ГПЗ. Вначале анализируем, что должно получиться в результате пересечения. Так как характер пересечения - вмятие, то общим элементом должна быть одна пространственная линия - m.

Обе фигуры проецирующие относительно разных плоскостей проекций. Следовательно, согласно 1 алгоритму, проекции общего элемента должны совпадать с главными проекциями поверхностей. На фронтальной проекции m2 должна совпадать с Г2. Однако, из чертежа (рис. 3-8) видно, что часть главной проекции призмы Г2 выходит за пределы цилиндра, а это означает, что совпадение проекции линии пересечения m2 с главной проекцией призмы Г2 только частичное. Следовательно, нужно найти границы общей части.

На рис. 3-9 линия m2, совпадающая с Г2 в пределах цилиндра, выделена красным цветом – это фронтальная проекция линии пересечения поверхностей.

Аналогичные рассуждения проведём для нахождения горизонтальной проекции линии пересечения m1. Она совпадает с главной проекцией цилиндра Ф1 в пределах призмы.

Рис. 3-9

Алгоритмическая запись будет выглядеть следующим образом:

Ф Ç Г = m; 2 ГПЗ, 1 алгоритм.

m Ç Г, Г ^^ П2 Þ m2 = Г2

m Ç F, F ^^ П1 Þ m1 = F1

Проанализируем, из чего состоит линия пересечения m. Как мы уже предполагали, это пространственная линия. Она состоит из двух плоских кривых а и b (рис. 3-10, 3-11), получающихся от пересечения цилиндра двумя гранями призмы, которые на рис. 3-11 обозначены плоскостями S и L.

Плоскость L(L2) - это горизонтальная плоскость уровня. Она параллельна окружности основания цилиндра, поэтому она пересечёт цилиндр Ф тоже по окружности. Тогда линия а есть дуга окружности, которая спроецируется на П2 в виде прямой (а2), а на П1 - в натуральную величину, т.е. в виде дуги окружности (а1).

Рис. 3-10

Плоскость S(S2) - фронтально проецирующая и пересечёт цилиндр Ф по эллипсу. Тогда линия b есть дуга эллипса, которая спроецируется на П2 в виде прямой (b2), а на П1 - в виде дуги окружности (b1).

Таким образом, линия пересечения двух заданных поверхностей есть пространственная линия, состоящая из двух плоских кривых - дуги окружности и дуги эллипса.

Рис. 3-11

Скорректируем алгоритм решения позиционных задач в 1 случае:

Проекции общего элемента на чертеже уже есть. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Если совпадение только частичное, то находят границы общей части. Решение сводится к их нахождению и обозначению.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа