уникальные новости про проботов

Начертательная геометрия

Ортогональное проецирование. Свойства ортогонального проецирования

Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (s^П1). В этом случае проекции геометрических фигур называются ортогональными.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного проецирования, а также свойства, присущие только ортогональному проецированию.

Первое свойство. В общем случае ортогональная проекция отрезка всегда меньше его натуральной длины.

Если провести А*В || А1В1, то ÐАА*В = 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что АВ - гипотенуза, А*В - катет, а гипотенуза всегда больше катета (А*В = АВ ´ Соsa),

Рис. 1-11

Рассмотрим частные случаи:

Если a = 0 Þ |А1В1| = |АВ|, т.е. проекция равна самому отрезку.

Если a =90° Þ А1 = В1, т.е. проекция отрезка - точка.

Второе свойство: теорема о проецировании прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна какой-нибудь плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна ей, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

Дано: ÐАВС = 90°, ВС || П1,

Доказательство:

плоскость Ф = АВ Ç ВВ1

плоскость S = ВС Ç ВВ1

ВС ^ Ф, т.к. ВС ^ АВ и ВС ^ ВВ1, но В1С1 || ВС Þ В1С1 ^ Ф Þ В1С1 ^ А1В1,

значит ÐА1В1С1 - прямой

Рис. 1-12

Третье свойство: ортогональная проекция окружности в общем случае есть эллипс.

Рис. 1-13

Заключим окружность в плоскость S, S Ù П1 = a, если 0 < a < 90°, то окружность (k) -эллипс (k1)

АВ ^ СD - сопряженные диаметры, пусть АВ || П1

А1В1 = АВ - большая ось эллипса

С1D1 = СD ´ cоsa - малая ось эллипса.

Все хорды окружности параллельные СD проецируются с коэффициентом сжатия cоsa и делятся осью А1В1 пополам, т.е. ортогональная проекция окружности, в общем случае, есть замкнутая центрально симметричная кривая второго порядка, имеющая две взаимно перпендикулярные оси.

Частные случаи:

1. Если S || П1, то окружность (k) - проецируется без искажения.

2. Если S ^ П1, т.е. Ða = 90°, то окружность (k) - прямая линия, равная диаметру.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа