Начертательная геометрия

3 алгоритм

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие.

В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной проекции ни у одной из пересекающихся фигур. Поэтому для решения таких задач специально вводят вспомогательную секущую поверхность-посредник, которая пересекает обе фигуры, выявляя общие точки. Эта поверхность-посредник может быть проецирующей, и тогда решение задачи можно свести ко 2 алгоритму, или непроецирующей (например, сфера - посредник). Решение первой и второй ГПЗ рассмотрим отдельно.

Решение 1ГПЗ

Для нахождения точек пересечения прямой с поверхностью в качестве поверхности-посредника чаще всего берут проецирующую плоскость, которую проводят через данную прямую. Далее находят линию пересечения этой плоскости с поверхностью, используя 2 алгоритм, и определяют точки пересечения полученной линии с данной прямой. Эти точки и будут являться точками пересечения поверхности с прямой (рис. 3-35).

Рис. 3-35

Рассмотрим этот алгоритм на конкретном примере.

Задача: Найти точку пересечения плоскости Г(АВС) с прямой а.

Определить видимость прямой (рис. 3-36).

Рис. 3-36

Алгоритм:

1. Возьмём плоскость-посредник S так, чтобы она включала в себя прямую а и была бы проецирующей, например, относительно П1. Тогда S1 совпадёт с а1 (рис. 3-37а,б).

Рис. 3-37а

Рис. 3-37б

2. Пересекаем проецирующую плоскость S с плоскостью общего положения АВС, результатом будет прямая m. Задачу решаем по 2 алгоритму: m2 совпадает с S2, m1 находим по принадлежности плоскости АВС. m =12 Þ m2 = 1222.

3. m2, пересекаясь с а2, даёт нам точку К2 Þ К1.

4. Видимость прямой а определяем методом конкурирующих точек (рис. 3-37в):

Рис. 3-37в

Видимость относительно П2:

5ÎАВ, 3Îа - фронтально конкурирующие. На П2 видна точка 3 Þ участок прямой а слева от точки К2 - видимый.

Видимость относительно П1:

2 Î ВС, 4 Î а - горизонтально конкурирующие. На П1 видна точка 2 Þ участок прямой а справа от точки К1 до точки 41 - невидимый.

Выполним краткую алгоритмическую запись решения задачи:

Г(АВС) Ç а = К. 1 ГПЗ, 3 алгоритм.

S - плоскость-посредник, S É а, S || П1 Þ S1= а1;

S Ç Г = m. 2 ГПЗ, 2 алгоритм. S ^^ П1 Þ m1 = S1; m2 Ì Г

m2 Ç а2 = К2 Þ К1.

Такой алгоритм решения приемлем для нахождения точек пересечения любой поверхности с прямой линией. Разница заключается в форме линии m, которая является результатом пересечения плоскости-посредника с заданной поверхностью и зависит от вида поверхности. В рассмотренном примере m - это прямая линия. Если вместо плоскости Г(АВС) возьмём, например, сферу, то линия m будет являться окружностью, которая может проецироваться на какую-либо плоскость проекций в виде эллипса, если с прямой пересекается многогранник, то m - это плоский многоугольник и т.д. Подробнее рассмотрим один из таких примеров, используя указанный алгоритм решения.

Задача: Найти точки пересечения пирамиды Г(SABC) с прямой а (рис. 3-38). Определить видимость прямой.

Рис. 3-38

1. Через прямую а проведём плоскость-посредник S, проецирующую относительно П2 (рис. 3-39а,б). S2 = а2.

Рис. 3-39а

Рис. 3-39б

2. Пересекаем плоскость S с пирамидой. Результатом является замкнутая ломаная линия m(1,2,3) - треугольник. Согласно 2 алгоритму, горизонтальную проекцию треугольника строим по принадлежности пирамиде. Точки 11 и 31 находим с помощью линий связи на соответствующих рёбрах SA и SC. Точку 21 находим по принадлежности плоскости треугольника SBC с помощью вспомогательной прямой 24, параллельной ВС Þ 2141 || B1C1.

3. m1(11,21,31), пересекаясь с а1, даёт нам точки К1 и Р1 Þ К2, Р2.

4. Определяем видимость прямой на обеих проекциях (рис. 3-40). Невидимый участок прямой расположен между точками К и Р.

Рис. 3-40

Выполним алгоритмическую запись решения:

Г(SABC) Ç a = K ,P. 1 ГПЗ, 3 алгоритм.

1. S - плоскость-посредник,

S É а, S ^^ П2 Þ S2 = a2

2. S Ç Г = m(123). 2 ГПЗ, 2 алг.

S ^^ П2 Þ m2(12,22,32) = S2;

m1(11,21,31) Ì Г

3. m1(11,21,31) Ç а1 = К1, Р1 Þ К2, Р2.

Вывод: все задачи на пересечение непроецирующей прямой с любой непроецирующей поверхностью решаются по единому - третьему алгоритму, с помощью плоскости - посредника.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа