Начертательная геометрия

Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур)

Чтобы построить линию пересечения двух непроецирующих поверхностей т, нужно выполнить следующие операции:

Задать поверхность-посредник (напоминаем, что в этом качестве чаще всего берутпроецирующую плоскость);

Построить линии пересечения а и b поверхности-посредника с заданными поверхностями;

Найти точки пересечения построенных линий;

Повторять построения столько раз, сколько необходимо для того, чтобы линия пересечения поверхностей выявилась полностью;

Определить видимость линии пересечения m и самих поверхностей.

Следует напомнить, что:

а) Решение 2 ГПЗ необходимо начинать с анализа характера пересечения поверхностей для определения количества линий пересечения m|;

б) Плоскость-посредник необходимо выбирать так, чтобы она пересекала обе поверхности по графически простым линиям - прямым или окружностям.

Рассмотрим алгоритм решения на пространственной модели (рис. 3-41):

Рис. 3-41

Ф Ç D = m; 2ГПЗ, 3 алгоритм .

Отмечаем очевидные точки пересечения - М и Р.

Вводим плоскость-посредник S (как правило - проецирующую.)

Ç Ф = а; S Ç D = b;

а Ç b = K.

Для построения линии m нужно найти такое количество точек, которое определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостей-посредников.

Определяем видимость линии пересечения m и поверхностей.

Задача: Построить линию пересечения конуса Ф со сферой D (рис. 3-42).

Алгоритм: 2ГПЗ , 3 алгоритм.

Рис. 3-42

1. Вначале определяем, что должно быть общим элементом в результате пересечения и количество общих элементов. Пересекаются две поверхности вращения второго порядка, характер пересечения - вмятие, следовательно, должна получиться одна пространственная кривая линия m. Кроме того, поверхности имеют общую плоскость симметрии (это плоскость фронтального меридиана W). Это означает, что линия пересечения симметрична относительно плоскости W, и на П2 две её ветви должны слиться в одну видимую линию.

2. Построения начинаем с характерных точек (рис.3-43), не требующих дополнительных построений для их нахождения. К ним относятся точки М и Р, лежащие в плоскости W и принадлежащие очерковым образующим конуса и сферы на П2 – М2 и P2. М1 и Р1 находим с помощью линии связи.

Рис. 3-43

3. Все остальные точки находим одинаково: задаём плоскость-посредник S (рис. 3-44). В её качестве выбираем горизонтальную плоскость уровня S2. Эта плоскость пересекает конус Ф по окружности а, радиусом R1 (от оси до очерка конуса). Проводим на П1 эту окружность а1 из центра конуса S1.

Рис. 3-44

Эта же плоскость пересекает сферу D по окружности b, радиусом R2 (от оси до очерка сферы). Проводим на П1 эту окружность b1 из центра О1 сферы.

Окружности, пересекаясь, дают нам точки К1 и К1', принадлежащие линии пересечения m. К2 и К2' находим с помощью линии связи по принадлежности плоскости S.Остальные точки находим аналогично.

4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют точки А и А', лежащие в плоскости экватора с сферы (рис. 3-45). На П1 они принадлежат окружности с1. Все точки, расположенные ниже А2 и А2', на П1 будут невидимыми, в том числе и точки Р1, К1 и К1'.

Рис. 3-45

5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости S ', проходящей через точку встречи левой очерковой образующей конуса с перпендикуляром, проведённым из точки пересечения оси конуса с плоскостью экватора сферы (рис. 3-46). Построения проводим так, как описано в п.3.

Рис. 3-46

6. Конечный результат построений с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей приведен на рис. 3-47. Как мы и предполагали на основе анализа в п.1, линия пересечения m одна, симметрична относительно плоскости фронтального меридиана W, симметричные ветви её на П2 слились в одну видимую линию.

Рис. 3-47

Алгоритмическая запись решения:

Ф Ç D = m. 2ГПЗ, 3 алгоритм .

1. Точки М и Р Î W Þ М2; Р2 Þ М1; Р1.

2. S - плоскость-посредник; S || П1,

3. S Ç Ф = а Þ а1; S Ç D = b Þ b1; b1 Ç a1 = K1; K1' Þ K2; K2'.

4. Аналогично строим остальные точки: m1 Þ m2.

5. Видимость m относительно П1: точки А, А' Î с.

Вывод: Решение 2ГПЗ в случае пересечения непроецирующих фигур проводят по единому - третьему алгоритму и осуществляют с помощью плоскостей-посредников, которых берётся такое количество, чтобы линия пересечения выявилась полностью.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа