Начертательная геометрия

Взаимная перпендикулярность двух прямых общего положения

Задача: Через точку К, взятую на прямой общего положения m, провести прямую n, тоже общего положения, перпендикулярную m (рис. 4-15).

Рис. 4-15

Так как прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, то решение задачи на построение взаимно перпендикулярных прямых приходится сводить к задаче на построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

При этом используется известное положение, что две прямые перпендикулярны в том, и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

Алгоритм решения:

1. Через точку К проводим плоскость S, перпендикулярную прямой m. Плоскость задаём пересекающимися горизонталью и фронталью (рис. 4-16), причём, h1 ^ m1, a f2 ^ m2.

Рис. 4-16

2. Так как плоскость S(h Ç f) ^ m, то в этой плоскости можно взять некоторую прямую общего положения n, проходящую через точку К (рис. 4-17). Она будет перпендикулярна m. Задаём n1.

Рис. 4-17

3. Известно, что прямую определяют две точки. На n1, кроме К1, возьмём ещё одну точку Р1.

4. Находим n2 в плоскости S. Для этого проводим в этой плоскости прямую 12(11 -21). Точка Р1 принадлежит этой прямой, а, следовательно, плоскости S. Находим Р2 и проводим прямую n2

Алгоритмическая запись решения:

1. S ^ m, S = h Ç f = K; h ^ m Þ h1 ^ m1, h2 ^ K2K1; f ^ m Þ f2 ^ m2, f1 ^ K2K1;

2. n = PK, n Ì S, n1 = P1K1; P1 Î 1121 Þ P1 Î S Þ P2 Þ n2.

3. n Ì S Þ n ^ m.

Взаимная перпендикулярность двух плоскостей общего положения

Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них лежит прямая, перпендикулярная другой плоскости. Таким образом, построение взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения сводится к построению взаимно перпендикулярных прямой и плоскости.

Задача: Через точку К, взятую вне плоскости Г(АВС) провести плоскость S ^ Г (рис. 4-18).

Рис. 4-18

Алгоритм:

1. Плоскость S (рис. 4-19) задаём пересекающимися прямыми m Ç n = К. Согласно вышесказанному, одна из них должна быть перпендикулярна плоскости Г. Пусть это будет n.

2. В плоскости Г берём горизонталь и фронталь.

3. Через точку К1 проводим n1 ^ h1, а через К2 проводим n2 ^ f2, следовательно, n ^ Г.

4. Прямую m, проходящую через точку К, задаём произвольно.

Таким образом, S(n Ç m) ^ Г(АВС).

Рис. 4-19

Алгоритмическая запись решения:

1. h Ì Г Þ h2 Þ h1, f Ì Г Þ f1 Þ f2;

2. S = m Ç n = K, n ^ Г Þ n1 ^ h1, n2 ^ f2.

3. S ^ Г.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа