Начертательная геометрия

Метод Монжа

В машиностроительных чертежах используется метод прямоугольных проекций. Поэтому дальнейшее изучение курса будем вести, используя метод ортогонального проецирования.

Чтобы однозначно решить две основные задачи курса начертательной геометрии, чертежи должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Простота и наглядность;

2. Обратимость чертежа.

Рассмотренные методы проецирования с использованием однокартинных чертежей позволяют решать прямую задачу (т.е. по данному оригиналу построить его проекцию). Однако, обратную задачу (т.е. по проекции воспроизвести оригинал) решить однозначно невозможно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. каждую точку А1 плоскости проекций П1 можно считать проекцией любой точки проецирующего луча lА, проходящего через А1. Таким образом, рассмотренные однокартинные чертежи не обладают свойством обратимости.

Для получения обратимых однокартинных чертежей их дополняют необходимыми данными. Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.

Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А1 задаётся высота точки, т.е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб. Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.

Рис. 1-14

В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж обобщил накопленные к этому времени теоретические знания и опыт и впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, которым мы пользуемся и поныне.

Поставим перед собой задачу построить проекции отрезка [AB] на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1 и П2.

1. Пространственная модель.

Рис. 1-15

П1 ^ П2. AA1 ^ П1; |AA1| - расстояние от А до П1.

AA2 ^ П2; |AA2|- расстояние от А до П2.

П1 - горизонтальная плоскость проекций;

П2 - фронтальная плоскость проекций.

А1В1 - горизонтальная проекция отрезка;

А2В2 - фронтальная проекция отрезка.

х12 - линия пересечения плоскостей проекций.

Однако, в таком виде чертёж неудобно читать. Поэтому Гаспар Монж предложил совместить эти плоскости проекций, причём, П принимается за плоскость чертежа, а П - поворачивается до совмещения с П2. Такой чертёж называется комплексным чертежом.

2. Плоская модель.

Рассмотрим совмещение плоскостей проекций со всем их содержимым на плоском чертеже. Совокупность проекций множества точек пространства на П1 называется горизонтальным полем проекций, а на П2 - фронтальным полем проекций.

х12 - ось проекций, база отсчёта.

Рис. 1-16

А1А2, В1В2 Þ линия связи - это прямая, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже. Линия связи перпендикулярна оси проекций.

Свойства двухкартинного комплексного чертежа Монжа:

1. Две проекции точки всегда лежат на одной линии связи установленного направления.

2. Все линии связи одного установленного направления параллельны между собой.

3. Безосный чертёж.

Если совмещённые плоскости П1 и П2 перемещать параллельно самим себе на произвольные расстояния ( см. положение осей х12, х121, х1211 на рис. 1-17), то будут меняться расстояния от фигуры до плоскостей проекций.

Рис. 1-17

Однако, сами проекции фигуры (в данном случае - отрезка АВ) при параллельном перемещении плоскостей проекций не меняются (согласно 7 свойству параллельного проецирования).

Из рис. 1-17 видно. что при любом положении оси х, величины DZ- разность расстояний от концов отрезка до П1, и Dy -разность расстояний от концов отрезка до П2, остаются неизменными. Поэтому нет необходимости указывать положение оси х12 на комплексном чертеже и тем самым предопределять положение плоскостей проекций П1 и П2 в пространстве.

Это обстоятельство имеет место в чертежах, применяющихся в технике, и такой чертёж называется безосным.

Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере.


Решение метрических задач с помощью преобразования комплексного чертежа