Математический анализ Контрольная работа

Элементы теории множеств Логические символы

Ограниченные и неограниченные множества

Пример Показать, что последовательность  не имеет предела. Действительно, пусть а – предел xn.

Число е Рассмотрим последовательность {xn} с общим членом .

Односторонние пределы Если у любой сходящейся к точке  последовательности  все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность  сходится к , то число  называется левым пределом функции .

Предел функции на бесконечности Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Непрерывность функций в точке Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

Обратная функция Пусть X и Y - некоторые множества и задана функция f(x), т.е. множество пар чисел (x, y): , причем.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции

Физический смысл дифференциала. Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то  равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент . Использование дифференциала для приближенных вычислений

Производная сложной функции

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

Ряды Фурье в комплексной форме Пусть   – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.

Интеграл Фурье Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

Найти косинус-  и синус-преобразования Фурье функции

Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде . Это есть комплексная форма интеграла Фурье.

Колоколообразный импульс

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Основные свойства двойного интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Практикум по теме «Двойной интеграл»

Пример. Изменить порядок интегрирования J = 

Преобразования плоских областей. Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади  |J| dudv. Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy  r d dr.

Практикум по теме «Тройной интеграл» Задача о вычислении массы тела. Имеем объем  V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Пример. Вычислить тройной интеграл J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Практикум по теме «Криволинейный интеграл» Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью  f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.

Вычисление интегралов Кривая L задана параметрически : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . 

Физика, начертательная геометрия - лекции и примеры решения задач